Berechnung von Kernelementen in Kooperativen Bestellmengen-Spielen

In diesem Beitrag betrachten wir den Fall einer horizontalen Kooperation im Bereich der Beschaffung. Jeder einzelne Besteller hat ein Problem der dynamischen Losgrößenplanung zu lösen. Bei Kooperation können Kosten eingespart werden und es bleibt zu klären, wie die anfallenden Bestellkosten unter den Akteuren aufzuteilen sind. Die kooperative Spieltheorie schlägt hier das Konzept des Kerns vor. Die Literatur beschäftigt sich bislang entweder mit vergleichsweise einfachen Problemen dieser Art bei denen eine Lösung für das Bestellmengenproblem analytisch hergeleitet und in einer geschlossenen Formel angegeben werden kann oder sie konzentriert sich auf eher theoretische Fragestellungen wie beispielsweise der Frage der Existenz eines Kernelements. Bislang unbekannt ist eine effiziente Methode mit der geklärt werden kann, ob der Kern nicht–leer ist, und mit der ggf. ein Element des Kerns berechnet werden kann, wenn das zugrundeliegende Problem ein komplexes Optimierungsproblem ist für das eine Lösung nicht per Formel angegeben werden kann. Ein solcher Algorithmus soll hier vorgestellt werden. 1 Ein Bestellmengenproblem Ausgangspunkt unserer Betrachtung soll ein etabliertes Problem der Bestellmengenplanung sein: das sog. Wagner–Whitin Losgrößenproblem [WW58]. Für dieses Problem sind effiziente Lösungsverfahren bekannt, gleichwohl kann für dieses Problem keine optimale Lösung per geschlossener Formel angegeben werden. Das Problem kann wie folgt spezifiziert werden: Ein Besteller plant Bestellmengen für T Perioden. Der Bedarf dt in den einzelnen Perioden ist bekannt. Um den Bedarf in einer Periode t zu decken, kann eine Bestellung in Periode t oder früher aufgegeben werden. Wird eine Bestellung zeitlich vor dem Bedarfstermin ausgelöst, so muss die bestellte Ware eingelagert werden. Dabei fallen Stückkosten in Höhe von ht Geldeinheiten am Ende der Periode t an. Eine Bestellung in Periode t verursacht Fixkosten in Höhe von st Geldeinheiten. Ggf. fallen zusätzlich Stückkosten der Bestellung in Höhe von pt Geldeinheiten an. Gesucht werden die Bestellmengen qt in den Perioden. Es den Bestellmengen und den Bedarfen ergeben sich die Periodenendlagerbestände It (O.B.d.A. sei der bekannte Lagerbestand I0 zu Beginn der ersten Periode null). Ein gemischt–ganzzahliges Modell konkretisiert dieses Problem mathematisch präzise (der Parameter M ist eine hinreichend große Zahl und die binäre Entscheidungsvariable xt signalisiert, ob in einer Periode eine Bestellung ausgelöst wird